Eugenio Oñate Ibáñez de Navarra
Catedrático de Mecánica de los Medios Continuos
Departamento de Resistencia de Materiales y Estructuras en la Ingeniería
Centro Internacional de Métodos Numéricos en Ingeniería (CIMNE)
Universitat Politècnica de Catalunya
Resumen
Se denominan métodos numéricos las técnicas de la matemática que permiten expresar la solución de un problema en forma de números. El término “solución numérica” se utiliza a menudo frente al de “solución analítica” (también denominada “solución exacta”) de un problema.
La diferencia entre ambos tipos de solución es sustancial. Consideremos como ejemplo el estudio del comportamiento de un sistema de tipo físico, o bien humanístico. Dicho sistema satisface unas leyes (ecuaciones) generales de tipo matemático (denominadas ecuaciones de gobierno); por ejemplo, unas ecuaciones o inecuaciones diferenciales o algebraicas en las que intervienen un conjunto de variables y parámetros físicos. La solución analítica es una expresión matemática que proporciona toda la información sobre el comportamiento del sistema, para cualquier valor de las variables y parámetros que intervienen en las ecuaciones de gobierno. Por otro lado, la solución numérica expresa el comportamiento del sistema en función de números que se obtienen resolviendo las ecuaciones de gobierno para valores concretos de las variables y los parámetros del sistema.
Los métodos numéricos, por tanto, buscan números, mientras que los métodos analíticos buscan fórmulas matemáticas, es decir, información cuantitativa sobre el comportamiento de un sistema.
Tanto los métodos numéricos como los analíticos comparten un punto inicial fundamental: la necesidad de plantear en forma matemática un problema.
El optimismo que los primeros éxitos del cálculo infinitesimal infundió a la comunidad científica pronto se vio matizado por una desagradable evidencia: si bien todo problema podía plantearse en forma matemática por medio de ecuaciones diferenciales, la solución “exacta” sólo era posible para algunos casos particulares, generalmente de poco interés práctico. Las dificultades para encontrar fórmulas matemáticas universales que resolvieran problemas prácticos de la ciencia y la técnica hizo patente la necesidad de encontrar formas alternativas de resolver las ecuaciones diferenciales. De esta forma se abrió el camino para del desarrollo de los métodos numéricos.
La estrategia común de todos los métodos numéricos es la transformación de las ecuaciones diferenciales que gobiernan un problema en un sistema de ecuaciones algebraicas que dependen de un número finito de incógnitas. Como el número de incógnitas es, en la mayoría de los casos, de muchos miles (e incluso millones), el sistema de ecuaciones final sólo puede resolverse con la ayuda del ordenador. Esto explica por qué, aunque muchos de los métodos numéricos eran conocidos desde el siglo XIX, su gran desarrollo y popularidad han sucedido paralelos al de los modernos ordenadores en el siglo XX.
En la charla se presentan las ideas básicas de qué son los métodos numéricos, cuáles son los métodos numéricos más populares, cómo se aplican para resolver ecuaciones diferenciales de interés práctico en ingeniería y qué posibilidades y limitaciones tienen para ayudarnos a entender mejor el mundo que nos rodea. El contenido de la charla se completa con algunas aplicaciones prácticas del método de elementos finitos a diversos problemas de ingeniería.
Referencias
E. Oñate: El aura de los números. Reial Acadèmia de Doctors, 1998.
E. Oñate: Límites de los métodos numéricos. Publicación de Investigación no. 191, CIMNE, 2000.
E. Oñate: El bucle de los números. Publicación de Investigación no. 192, CIMNE, 2000.