Poliedros y teoremas de papel

José Ignacio Royo Prieto

Profesor Laboral Interino

Departamento de Matemática Aplicada, Universidad del País Vasco

Resumen

La papiroflexia es el arte de hacer figuras reconocibles utilizando papel plegado. Según la corriente más ortodoxa de la papiroflexia, tan sólo está permitido plegar el papel, sin usar tijeras ni pegamento, y tomando como punto de partida un único trozo de papel cuadrado. A pesar de que estas normas puedan parecernos muy restrictivas, las posibilidades que nos ofrece la papiroflexia son casi infinitas (ver, por ejemplo, [AEP], [Ka], [Ko] y [Ta]). La palabra japonesa “origami” (ori = doblar; kami = papel) es la palabra con la que se designa la papiroflexia en todo el mundo.

Según el matemático y papiroflecta T. Hull [Hu1], la mejor manera de darse cuenta de la relación entre las matemáticas y la papiroflexia consiste en desplegar una figura y observar las marcas provocadas en el cuadrado inicial: aparece ante nuestros ojos un complejo de cicatrices que no es sino un grafo que cumple unas ciertas propiedades. Intuitivamente, hay unas “matemáticas del origami” funcionando cuando plegamos un modelo. En esta charla, a modo de miscelánea, señalaremos cuatro aspectos fundamentales en los cuales las matemáticas afloran en la papiroflexia (ver también [DM]):

1)   Papiroflexia modular: La papiroflexia no sólo consiste en una herramienta útil para la representación de poliedros y figuras geométricas, sino que constituye un vehículo apropiado para experimentar las propiedades de los objetos que se quieren representar. Nociones geométricas y topológicas, tales como la característica de Euler-Poincaré, la curvatura y la dualidad de poliedros han de ser tenidas en cuenta a la hora de diseñar figuras geométricas de papiroflexia.

2)   Axiomas de constructibilidad: Existe una teoría de puntos  constructibles con origami, paralela a la existente con regla y compás. Sorprendentemente, problemas tales como la duplicación del cubo y la trisección del ángulo, imposibles de resolver con regla y compás, se pueden resolver doblando papel.

3)   Teoremas de papel: La papiroflexia constituye también un recurso pedagógico que nos puede ayudar a “demostrar” con papel ciertos teoremas de geometría elemental, así como a realizar actividades que nos llevan desde la aritmética modular hasta la suma de series. Una presentación moderna de la potencialidad de la papiroflexia como recurso en el aula puede ser [Hu2].

4)   Diseño de figuras: Los artistas de origami de todo el mundo utilizan métodos geométricos para el diseño de sus figuras con increíbles resultados (ver, por ejemplo [La]).

Referencias

[AEP] Asociación Española de Papiroflexia, http://www.pajarita.org.

[DM]  DivulgaMAT, http://www.divulgamat.net/weborriak/Cultura/papiroflexia/index.asp.

[Hu1] T. Hull: http://kahuna.merrimack.edu/~thull/origamimath.html.

[Hu2] T. Hull: Project Origami. AK Peters, 2006.

[Ka]   S. Kamiya: http://www.folders.jp.

[Ko]   H. Komatsu: http://origami.gr.jp/~komatsu/index.html.

[La]   R. Lang: Origami design secrets. AK Peters, 2003.